Question

求证：如果一个平面经过一条线段的中点，那么这条线段的两个端点到这个平面的距离相等.

已知：线段AB的中点为O，O∈平面α.

求证：A、B两点到平面α的距离相等.

Answer 1

证明：(1)当线段在平面α上时，A、B两点显然到平面α的距离相等且为0.

(2)当线段AB不在平面α上时，作AA₁⊥α，BB₁⊥α，A₁和B₁为垂足，则AA₁、BB₁分别是A、B到平面α的距离,且AA₁∥BB₁，AA₁、BB₁确定平面β，β∩α=A₁B₁.

∵O∈AB，ABβ,∴O∈β.又O∈α,

∴O∈A₁B₁.∴AA₁⊥A₁O，BB₁⊥B₁O.

∵∠AOA₁=∠BOB₁，AO=BO,

∴Rt△AA₁O≌Rt△BB₁O.∴AA₁=BB₁，

    即线段AB的两个端点到平面α的距离相等.

点评:该题中，证明A₁、O、B₁三点共线是关键，离开这一点，就无法证明三角形全等.另外，第（1）步有些同学往往漏掉，使证明失掉严谨性.