Question

如图,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：

(1)AP⊥MN；

(2)平面MNP∥平面A₁BD.

Answer 1

证明:(1)连结BC₁、B₁C，则B₁C⊥BC₁，BC₁是AP在面BB₁C₁C上的射影.

    ∴AP⊥B₁C.

    又B₁C∥MN，

    ∴AP⊥MN．

     (2)连结B₁D₁，∵P、N分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，

    ∴PN∥B₁D₁.

    又B₁D₁∥BD，

    ∴PN∥BD.

    又PN不在平面A₁BD上,

    ∴PN∥平面A₁BD.

    同理,MN∥平面A₁BD.

    又PN∩MN＝N，

    ∴平面PMN∥平面A₁BD.

讲评:将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B₁C、BC₁作为联系的桥梁.