Question

已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1．
（1）求（a+1）²+4b²+9c²的最小值；
（2）求证：

1

a + b

+

1

b + c

+

1

c + a

≥

3 3

2

．

Answer 1

分析：（1）在（a+1）²+4b²+9c²的前面乘以，然后利用重要不等式（a²+b²+c²）（m²+n²+p²）≥（am+bn+cp）²得到要代数式的最小值．
（2）在不等式的左边乘以[

a

+

b

)+(

b

+

c

)+(

c

+

a

)]利用重要不等式得到要证的不等式．

解答：解：（1）因为a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，所以
(1+

1

4

+

1

9

)[（a+1）²+4b²+9c²]≥[(a+1)+

1

2

•2b+

1

3

•3c]2=4，
得（a+1）²+4b²+9c²≥

144

49

．
当且仅当a+1=4b=9c，即a=

23

49

，b=

18

49

， c=

7

49

时，
（a+1）²+4b²+9c²有最小值

144

49

．
（2）因为(a+b+c)(12+12+12)≥(

a

+

b

+

c

)2，
所以∴

a

+

b

+

c

≤

3

，当且仅当a=b=c=取等号．
(

1

a + b

+

1

b + c

+

1

c + a

)•[

a

+

b

)+(

b

+

c

)+(

c

+

a

)]≥9

于是≥

9

2( a + b + c )

≥

3 3

2

．

点评：证明不等式时，关键是如何凑成能利用重要不等式的形式，注意重要不等式中等号成立的条件．