Question

有人玩掷硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正反面的概率都是,棋盘上标有第0站,第1站,…,第100站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站(从第k站到第k+1站),若掷出反面,棋子向前跳两站(从第k站到第k+2站),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时,该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为P_n.

(1)求P₀,P₁,P₂的值;

(2)求证:P_n-P_n-1=-(P _n-1-P_n-2),其中n∈N,2≤n≤99；

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

Answer 1

(1)解:∵棋子开始站在第0站,属必然事件,

∴P₀=1.硬币出现正面(P=),棋子向前跳一站,

∴P₁=.

棋子在第二站有两种情况:

第一种情况硬币出现反面,跳两步到第二站,P=;

第二种情况向前跳两次,P=·=.

∴P₂=.

(2)证明:棋子跳到第n站有两种情况:

①棋子在第n-1站后,再掷出一个正面到第n站,即P_n-1;

②棋子在第n-2站后,再掷出一个反面到第n站,即P_n-2.P_n=P _n-1+P _n-2,

∴P_n-P _n-1=-(P _n-1-P _n-2).

(3)解:{P_n-P _n-1}构成以P₁-P₀为首项,-为公比的等比数列,

∴P_n-P _n-1=(-)ⁿ.

∴P _n-1-P _n-2=(-)^n-1.

……

P₁-P₀=-·

将上列各式左右两边分别相加,得

P_n-P₀=(-)+(-)²+…+(-)ⁿ=.

∴P_n=1-·(-)ⁿ,

P₉₉=-·,P₉₈=+·.

若跳到99站,则已胜利,不再往前跳,

∴只有从98站跳两站到100站,P₁₀₀=+·.