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    定义在R上的函数，对任意的，有

    ，且.

    （1） 求证： ；      （2）求证：是偶函数.

     

    【答案】

    （1）证明略

    （2）证明略

    【解析】(1)根据x,y取值的任意性，可令x=y=0可得2f(0)=2f2(0),又因为,从而得.

    (2)令x=0可得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),从而可证出f(x)为偶函数

     

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    设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
    （1）求证：f（0）=1；
    （2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；
    （3）求证：f（x）在R上是减函数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
    （1） 求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
    （2） 证明：f（x）在R上单调递减．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=0，则f（2009）的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=0，则f（2013）的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(
    x1+x2
    2
    )≥
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
    （1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；
    （2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

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