Question

已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

解：（1）∵，2c=2，
∴a=，b=，
∴椭圆的方程为．
联立，消去y得：5x²﹣6x﹣3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
∴|AB|==
=．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由，消去y得（a²+b²）x²﹣2a²x+a²（1﹣b²）=0，
由△=（﹣2a²）²﹣4a²（a²+b²）（1﹣b²）＞0，整理得a²+b²＞1
∵，，
∴y₁y₂=（﹣x₁+1）（﹣x₂+1）=x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1=0，
∴，
整理得：a²+b²﹣2a²b²=0．
∴b²=a²﹣c²=a²﹣a²e²，代入上式得
2a²=1+，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴适合条件a²+b²＞1．
由此得，
∴，
故长轴长的最大值为．