Question

在△ABC中，已知AB=,AC边上的中线BD=，求sinA的值.

Answer 1

解：解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=,设BE=x，在△BDE中利用余弦定理可得

BD²=BE²+ED²-2BE·EDcoSBED，

5=x²+,

解得x=1,x=-(舍去).

故BC=2，从而AC²=AB²+BC²-2AB·BCcosB=，

即AC=.

又sinB=,故.

解法2：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

由sinB=,则=(cosB,sinB)=(,).

设=(x,0),则 =（）.

由条件得||=.

从而x=2,x=-（舍去）.

故=（-，）.

于是cosA=.

 =-，

∴sinA=.

解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，

过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=，

BN=.

而CN=HB=，

 

∴BC=BN-CN=2，HC=，AC=.

故由正弦定理得，

∴sinA=.