Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P(x₀，y₀)(x₀≠0)的切线方程为y-y₀=2ax₀(x-x₀)(a为常数)

(I)求抛物线方程；

(Ⅱ)斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B(A、B两点不同)，且满足k₂+k₁=0(≠0，≠-1)，若，求证线段PM的中点在y轴上；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当=1，k₁<0时，若P的坐标为(1，-1)，求为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为

        X²=-2py(p>0)

       ∵过点p(x₀，y₀)(x₀≠0) 的切线方程为y-y₀=2ax₀(x-x₀)

       ∴y′=

      ∴

      ∴ 抛物线的方程为 y=ax²(a<0)

（Ⅱ）直线PA的方程为 y-y₀=k₁(x-x₀)²

          ∴

     ∴ ax²-k₁x+ k₁x₀-y₀=0  ∴

     同理可得   

     ∵ k₂+k₁=0

     ∴ k₂=-k₁    

           又

    ∴     

    ∴线段PM的中点在y轴上

 （Ⅲ）由

     ∴ A（-K₁-1，-（k₁+1）²）,B(k₁-1, -（k₁-1）²)

     ∴  

     ∵ ∠PAB为钝角，且P、A、B互不相同

     ∴

      即

    ∴

∵k₁<0

∴

∴ k₁<-2或

又∵点A的纵坐标y_A=-(k₁+1)²

 ∴当k₁<-2时，y_A<-1

当时，

∴∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围为（-∞，-1）∪（-1，）