Question

如下图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝8，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积．

(2)求证：PA⊥BD

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)如图，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面AB——CD．垂足为O，连结OE． 根据三垂线定理的逆定理，得OE⊥AD，所以Ð PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角． 由已知条件可知Ð PEO=60°，PE＝6，所以，四棱锥P-ABCD的体积＝96． (2)如图，连结AO，延长AO交BD于F．通过计算可得EO＝3，．又知. AB=8，得． 所以Rt△AEO∽Rt△BAD. 得． 所以. 所以AF⊥BD. 因为直线AF为直线PA在平面AB-CD内的射影，所以PA⊥BD.

提示：

本小题考查立体几何中体积和线线垂直问题． (1)通过三垂线定理作出侧面PAD与底面所在二面角的平面角，再由勾股定理，求得P到底面距离，即可求解． (2)证明PA⊥BD有两种方法，方法1用三垂线定理求证，方法2先建立空间直角坐标系，再由得证．本题中我们只使用方法1，方法2留待同学们考虑．