Question

3．设命题p：函数f（x）=x²-2ax-1在区间（-∞，3）上单调递减；命题q：x²+ax+1＞0对x∈R恒成立．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先分别求得p为真命题，q为真命题时，a的范围，再根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，可得p和q有且只有一个是真命题，从而分p真q假，p假 q真，分别求得a的范围，最后求出它们的并集即可

解答 解：∵命题p：函数f（x）=x²-2ax-1在区间区间（-∞，3）上单调递减，
∴当p为真，对称轴x=a，
∴a≥3，
又∵命题q：x²+ax+1＞0对x∈R恒成立．
∴当q为真，△=a²-4＜0，即-2＜a＜2
∵如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴∴p、q一真一假
①p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a≤-2或a≥2}\end{array}\right.$，解得a≥3，
②p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜2，
综上所述a的取值范围为：（-2，2）∪[3，+∞）．

点评 本题以命题为载体，考查复合命题的真假运用，解题的关键是根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，可得p和q有且只有一个是真命题．