Question

2．已知M是曲线y=lnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于$\frac{π}{4}$的锐角，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． （-∞，2+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由已知中M是曲线y=lnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x上的任一点，曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于$\frac{π}{4}$的锐角，则曲线在M点处的切线的斜率不小于1，即曲线在M点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，运用基本不等式可得关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答 解：∵y=lnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x，x＞0，
∴y′=$\frac{1}{x}$+x+1-a≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1-a=3-a，
若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于$\frac{π}{4}$的锐角，
则3-a≥1，
解得a≤2．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a的不等式是解答本题的关键．