Question

（12分）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；

Answer 1

解：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，……………………2分
∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB.……………………………………4分
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.……………6分
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∠NFE=
∴二面角N-CM-B的余弦值为.………………………………8分
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，
∴S_△CMN=CM·NF=，S_△CMB=BM·CM=2.……………………10分
设点B到平面CMN的距离为h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，
∴h==.即点B到平面CMN的距离为.………12分
解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.………………………………2分
则A（2，0，0），B（0，2，0），

C（-2，0，0），S（0，0，2），
M(1，，0)，N(0，，).
∴=（-4，0，0），=（0，2，2），
∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，……3分
∴AC⊥SB.………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0)，=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
     ·n=3x+y=0，
·n=-x+z=0，             则 取z=1，则x=，y=-，…… 6分
∴n=(，-，1)，
又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，
∴cos(n，解析