Question

如图,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=AC=AA₁=a,∠BAC=90°,D为棱B₁B的中点.

(1)证明A₁D⊥平面ADC;

(2)求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小;

(3)求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小(仅考虑锐角的情况).

Answer 1

(1)证明:∵△A₁B₁D和△ABD都为等腰直角三角形,

∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°.

∴∠A₁DA=90°,即A₁D⊥AD.

又∵.

∴A₁D⊥平面ADC.

(2)解:如图,连结AC₁交A₁C于E点,取AD中点F,连结EF、CF,则EF∥C₁D.

∴∠CEF是异面直线A₁C与C₁D所成的角(或补角).

EF=C₁D=,CE=A₁C=,.

在△CEF中,cos∠CEF=.

∴∠CEF=arccos.

(3)解:如上图,延长A₁D与AB延长线交于G点,连结CG,

过A作AH⊥CG于H点,连结A₁H,

∵A₁A⊥平面ABC,

∴A₁H⊥CG(三垂线定理).

∴∠AHA₁是二面角A₁CGA的平面角,即所求二面角的平面角.

在△ACG中,∵AC=a,AG=2a,

∴AH=,

tan∠A₁HA=.

∴∠A₁HA=arctan.