Question

如图，两矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE，DB的中点，且MN＝1．

(Ⅰ)求证：MN丄平面ABCD

(Ⅱ)求线段AB的长；

(Ⅲ)求二面角A－DE－B的平面角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF＝ABEB⊥AB 　　∴EB⊥平面ABCD 　　又MN∥EB 　　∴MN⊥面ABCD． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角 　　∴∠EDB＝30° 　　又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90° 　　∴DE＝ 　　连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角 　　∴∠DEA＝45° 　　在Rt△DAE中，∠DAE＝90° 　　∴AE＝DA 　　在Rt△ABE中，． 　　(Ⅲ)方法一：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH 　　∵AD⊥平面ABEF 　　BO面ABEF 　　∴BO⊥平面ADE 　　∴OH为BH在平面ADE内的射影 　　∴BH⊥DE 　　即∠BHO为所求二面角的平面角 　　在Rt△ABE中，BO＝ 　　在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝ 　　∴sin∠BHO＝．