Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，2an=an-1+an+1(n≥2，n∈N*)，数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n； 
（Ⅱ）求证：数列{

bn

n

}为等比数列；并求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（I）∵2an=an-1+an+1(n≥2，n∈N*)，
∴数列{a_n}是等差数列
又∵a₁=1，a₂=2，
∴d=1，a_n=1+（n-1）×1=n
（II）证明：a_n=n
∵a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
∴nb_n+1=2（n+1）b_n
∴

bn+1

n+1

= 2•

bn

n

，

b1

1

=2
∴{

bn

n

}是以2为首项以2为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，

bn

n

=2•2n-1=2ⁿ
∴bn=n•2n