Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=(2+S_n)对一切正整数n都成立.

    (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

    (Ⅱ)设b_n=n(a_n-1)，求数列{b_n}的前n项和B_n.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由已知得a_n=1+S_n，a_n-1=1+S_n-1(n≥2)，

两式相减得a_n=2a_n-1(n≥2)

所以=2(n≥2)

又a₁=1+a₁  ∴a₁=2

故数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列所以a_n=2×2^n-1=2ⁿ

(Ⅱ)b_n=n(2ⁿ-1)=n2ⁿ-n

设T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ  ①

则2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)2ⁿ+n2ⁿ⁺¹  ②

②-①得T_n=-(2+2²+2³+…+2ⁿ)+n2ⁿ⁺¹=+n2ⁿ⁺¹=2-2ⁿ⁺¹+n2ⁿ⁺¹

所以B_n=2+(n-1)2ⁿ⁺¹