Question

已知函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间［0，1］上单调递增，在区间［1，2］上单调递减.

（1）求a的值；

（2）若点A（x₀，f(x₀)在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

（3）是否存在实数b,使得函数g(x)=bx²-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

Answer 1

(1)解：(1)由于函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在［0,1］上单调递增,在区间［1,2］上单调递减,

∴x=1时,f(x)取得极大值,∴f′(1)=0,且在(0,1)上,f′(x)＞0；在(1,2)上,f′(x)＜0.

    又f′(x)=4x³-12x²+2ax，∴4-12+2a=0，且f′(x)=4x³-12x²+8x=4x（x-1）（x-2）满足：在（0，1）上，f′(x)＞0；在（1，2）上，f′(x)＜0.

    故所求a的值为4.

(2)∵点A(x₀,f(x₀))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x₀,f(x₀)),

    而f(2-x₀)=(2-x₀)⁴-4(2-x₀)³+4(2-x₀)²-1=(2-x₀)²［(2-x₀)-2］²-1=x⁴₀-4x³₀+4x²₀-1=f(x₀).

∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数y=f(x)的图象上.

(3)函数g(x)=bx²-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点等价于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1即x⁴-4x³+(4-b)x²=0恰有3个不等实根，

∵x=0是其中的一个实根，∴方程x²-4x+（4-b）=0恰有2个非0的不等实根.

∴Δ=16-4(4-b)＞0且4-b≠0,∴b＞0且b≠4.

    故存在这样的实数b,其取值范围为b＞0且b≠4.