Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，则（　　）

• A．tanAcotB=1
• B．

  1

  2

  ＜sinA?sinB≤1
• C．sin²A+cos²B=1
• D．cos²A+cos²B=sin²C

Answer 1

分析：由于tan

A+B

2

=tan

π-C

2

=cot

C

2

，结合tan

A+B

2

=sinC可求得cosC=0，从而可从选项中得到答案．

解答：解：∵tan

A+B

2

=tan

π-C

2

=cot

C

2

=

cos C 2

sin C 2

=sinC=2sin

C

2

cos

C

2

，cos

C

2

≠0，
∴1-2sin2

C

2

=0，即cosC=0，又0＜C＜π，
∴C=

π

2

．
∴tanAcotB=tanA•tanA，不一定为1，故A不正确；
sinA•sinB=sinA•cosA=

1

2

sin2A ≤

1

2

故排除B；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A不一定为1，排除C，
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1=sin²C，D正确；
故选D．

点评：本题考查拌脚的三角函数，着重考查是诱导公式的熟练应用，关键在于确定C=

π

2

，属于中档题．