Question

已知函数f（x）=x²+lnx-ax在（0，1）上是增函数．
（1）求a的取值范围；
（2）设g（x）=e^2x-ae^x-1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．
（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．

解答：解：（1）f′(x)=2x+

1

x

-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+

1

x

-a≥0在（0，1）上恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∴只需a≤(2x+

1

x

)min即可．
∴2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），
∴a≤2

2

（2）设e^x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
设h(t)=t2-at-1=(t-

a

2

)2-(1+

a2

4

)，
其对称轴为 t=

a

2

，由（1）得a≤2

2

，
∴t=

a

2

≤

2

＜

3

2

则当1≤

a

2

≤

2

，即2≤a≤2

2

时，h（t）的最小值为h(

a

2

)=-1-

a2

4

当

a

2

＜1，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a
所以，当2≤a≤2

2

时，g（x）的最小值为-1-

a2

4

，
当a＜2时，g（x）的最小值为-a

点评：解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．