Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱C C₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁
（Ⅰ）求证：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B₁DP的距离．

Answer 1

解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：
以A₁点为原点，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A₁（0，0，0）B₁（1，0，0）C₁（0，1，0）B（1，0，1）
（I）设C₁D=x，
∵AC∥PC₁
∴
可设D（0，1，x），
∴=（0，1，x），
设平面BA₁D的一个法向量为=（a，b，c），
则  令a=1，则=（1，x，﹣1）
∵PB₁∥平面BA₁D
∴0=0
x=；
故CD=C₁D．
（II）由（I）知，平面BA₁D的一个法向量为
又=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量，
∴cos＜．
故二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值为．
（III）∵
设平面B₁DP的一个法向量为=（x，y，z），
则
令z=1，∴
又
∴C到平面B₁PD的距离d=．