Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和s_n满足sn2=an(sn-

1

2

)
（1）证明：数列{

1

sn

}为等差数列，并求s_n表达式；
（2）设bn=

sn

2n+1

，求{b_n}的前n项和T_n

Answer 1

分析：（1）由题意sn2=an(sn-

1

2

)结合a_n=s_n-s_n-1（n≥2）得：sn2=(sn-sn-1)(sn-

1

2

)(n≥2)，由此能够推出数列{

1

sn

}为公差为2的等差数列，再由

1

sn

=

1

s1

+(n-1)2=1+(n-1)2=2n-1，知sn=

1

2n-1

．
（2）由bn=

sn

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，知Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

解答：解：（1）证明：由题意sn2=an(sn-

1

2

)结合a_n=s_n-s_n-1（n≥2）得：
sn2=(sn-sn-1)(sn-

1

2

)(n≥2)，
化简整理得

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)，
知数列{

1

sn

}为公差为2的等差数列，
且

1

sn

=

1

s1

+(n-1)2=1+(n-1)2=2n-1，sn=

1

2n-1

（2）解：bn=

sn

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，所以Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意合理地进行等价转化．