Question

已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0＜a＜).

（1）求MN的长.

（2）当a为何值时，MN的长最短？并求出|MN|的最小值.

Answer 1

活动：学生思考或讨论，师生共同探讨解题方法，此题的求解方法很多，但利用坐标法求解既简单，又易行，我们必须建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN的长，求|MN|的最小值，我们可构建关于a的函数，利用函数的最值来解决.

解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE,∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直.∴以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B—xyz,如图3.

图3

(1)∵正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,CM=BN=a,

∴M(a,0,1a),N(a, a,0).由空间两点间的距离公式得

|MN|==.

（2）由本题（1）可知|MN|=,其中0＜a＜,所以，当a=时，|MN|最短，|MN|的最小值为.此时，M，N恰为AC，BF的中点.

点评：运用空间点的坐标运算解决几何问题时，首先建立适当的空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进行求解.在建立空间直角坐标系时，应注意原点的选择，原点的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要知尽可能的使点的坐标为正值.