Question

在直角坐标系中，由动点P引圆的两条切线PA、PB．直线PA、PB的斜率分别为、．

(1)若，求动点P的轨迹方程．

(2)若点P在直线x＋y=t上，且PA⊥PB，求实数t的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)设点P的坐标为(a，b)，过点P的切线方程为y－b=k(x－a)，即 (2)kx－y＋b－ak=0． 由，得 ． ， ＞10． 将，代入，得 ，化简，得 (＞10)． 所以所求动点P的轨迹方程为(＞10)， 即(＞10)． (2)设点P的坐标为(a，t－a)． 因为PA⊥PB，所以． 结合(1)可知， 化简，得． 由=－8(－20)≥0， 得≤40． 但当=40即t=±时， a=±与－10≠0矛盾． 所以t∈(－，)． 另法：由题意知，OAPB为正方形． 因为， 所以点P在圆上． 又点B在直线x＋y=t上， 所以直线x＋y=t与圆相切或相交． 于是，由≤得≤． 但当t=±时，点P的坐标为(，)或(－，－)，此时，、中有一个为零，另一个不存在，故t≠±． 所以t∈(－，)．