Question

如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为短形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，面PAD⊥面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E、F分别为PC和BD的中点．

(Ⅰ)证明：EF∥面PAD；

(Ⅱ)证明：面PDC⊥面PAD；

(Ⅲ)求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(Ⅰ)如图，连结AC， 　　∵ABCD为矩形，且F是BD的中点， 　　∴对角线AC必经过F　　1分 　　又E是PC的中点， 　　∴EF∥AP　　2分 　　∵EF在面PAD外，PA在面内， 　　∴EF∥PAD　　4分 　　(Ⅱ)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD， 　　又AP面PAD，∴AP⊥CD　　6分 　　又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD　　7分 　　又AD面PAD，所以面PDC⊥面PAD　　8分 　　(Ⅲ)取AD中点为O，连结PO， 　　∵面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形， 　　∴PO⊥面ABCD， 　　即PO为四棱锥P－ABCD的高　　10分 　　∵AD＝2，∴PO＝1， 　　∴四棱锥P－ABCD的体积　　12分