Question

设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．

在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

[解法一]设圆的圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|． 　　 　　由r2＝2b2，知r2＝2．故所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2． 　　 　　将其代入②式得2b2±4b＋2＝0，解得b＝±1． 　　将b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2． 　　又由r2＝a2＋1，得a＝±1． 　　综上，解得a＝±1，b＝±1，r2＝2． 　　由|a－2b|＝1，知a、b同号． 　　于是，所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．

提示：

可设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它有三个待定系数a、b、r．将条件②等价转化为所截圆弧所对的圆心角的度数为90°，进而可求出r与b的关系．将条件①等价转化为r与a的关系．最后利用算术平均值不等式或方程有实数解的条件：判别式不小于0等的方法求出a、b、r．