Question

已知函数f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+

e2

x

 （x＞0）．
（1）若g（x）=m有实根，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根．

Answer 1

分析：（1）方法一：g（x）=x+

e2

x

≥2e，等号成立的条件是x=e．故g（x）的值域是[2e，+∞），由此能求出m的取值范围．
方法二：作出g（x）=x+

e2

x

 （x＞0）的图象如图：观察图象，能求出m的取值范围．
方法三：解方程由g（x）=m，得x²-mx+e²=0．此方程有大于零的根，故

m 2 ＞0 △=m2-4e2≥0

，由此能求出m的取值范围．
（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中，函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）=x+

e2

x

（x＞0）的图象，由f（x）=-x²+2ex+m-1，知最大值为m-1+e²，故当m＞-e²+2e+1时，g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点．

解答：解：（1）方法一：∵g（x）=x+

e2

x

≥2e，等号成立的条件是x=e．
故g（x）的值域是[2e，+∞），
因而只需m≥2e，则g（x）=m就有实根．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法二：作出g（x）=x+

e2

x

 （x＞0）的图象如图：
观察图象，知：若使g（x）=m有实根，则只需m≥2e，故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法三：解方程由g（x）=m，得x²-mx+e²=0，此方程有大于零的根，
故

m 2 ＞0 △=m2-4e2≥0

，等价于

m＞0 m≥2e或m≤-2e

，故m≥2e．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中，函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）=x+

e2

x

（x＞0）的图象，
∵f（x）=-x²+2ex+m-1=-（x-e）²+m-1+e²，
其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e²，
故当m-1+e²＞2e，即m＞-e²+2e+1时，g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，即g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，∴m的取值范围是：（-e²+2e+1，+∞）．

点评：本题考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．灵活运用导数的性质、函数图象进行求解．