Question

如图,平面VAD⊥平面ABCD,△VAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,AB∶AD=∶1,F是AB的中点.

(1)求直线VC与平面ABCD所成的角;

(2)求二面角V-FC-B的度数;

(3)当点V到平面ABCD的距离是3时,求B到平面VFC的距离.

Answer 1

思路解析：本题根据已知条件建立恰当的直角坐标系,将相关的点的坐标正确地表示出来,利用相关的向量知识从而求得相应的结果.

解：取AD的中点O,BC中点G,连结VO、OG.

∴VO⊥平面ABCD,分别以直线OD、OG、OV为x、y、z轴建立直角坐标系.

(1)设AD=a,则VO=a,DC=a.

∴C(, ,0),F(-,a,0),B(-,a,0),V(0,0,a).

    平面ABCD的法向量为=(0,0,),=(,a,-a),

cos〈〉=

∴〈〉=120°,即直线VC与平面ABCD所成的角是30°.

(2)设平面VCF的法向量为n=(x,y,z).

由n=(-1,,).

∴cos〈n,〉=

∴〈n,〉=45°,二面角V-FC-B的度数为135°.

(3)∵点V到平面ABCD的距离是3,

∴a=2,点B到平面VFC的距离h=