Question

证明等轴双曲线x²－y²=a²上任意一点P到两焦点的距离的积等于P到中心距离的平方.

Answer 1

证明:焦点坐标分别为F₁(－a,0)、F₂(a,0).

设P点的坐标为(x,y),则x²－y²=a².

故|PF₁|=

=

=|x+a|,

|PF₂|=

=

=|x－a|.

∴|PF₁|·|PF₂|=|x+a|·|x－a|

=|2x²－a²|=2x²－a².

而|PO|²=x²+y²=2x²－a²,

∴|PF₁|·|PF₂|=|PO|².