Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂分别为椭
圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一
点B、
（1）若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若

AF2

=2

F2B

，

AF1

•

AB

=

3

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据∠F₁AB=90°推断出△AOF₂为等腰直角三角形，进而可知OA=OF₂，求得b和c的关系，进而可求得a和c的关系，即椭圆的离心率．
（2）根据题意可推断出A，和两个焦点的坐标，设出B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求得x和y关于c的表达式，代入椭圆方程求得a和c的关系，利用

AF1

•

AB

=

3

2

求得a和c的关系，最后联立求得a和b，则椭圆方程可得．

解答：解：（1）若∠F₁AB=90°，则△AOF₂为等腰直角三角形，所以有OA=OF₂，即b=C、
所以a=

2

c，e=

c

a

=

2

2

．
（2）由题知A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中，c=

a2-b2

，设B（x，y）．
由

AF2

=2

F2B

?（c，-b）=2（x-c，y），解得x=

3c

2

，
y=-

b

2

，即B（

3c

2

，-

b

2

）．
将B点坐标代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

9 4 c2

a2

+

b2 4

b2

=1，
即

9c2

4a2

+

1

4

=1，
解得a²=3c²．①
又由

AF1

•

AB

=（-c，-b）•（

3c

2

，-

3b

2

）=

3

2

⇒b²-c²=1，
即有a²-2c²=1．②
由①，②解得c²=1，a²=3，从而有b²=2．
所以椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的应用和椭圆的简单性质，向量的基本性质．注意挖掘题意中隐含的条件，充分利用．