Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2

3

，b=2，cosA=

1

2

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+

c

2

sin²（x+B），求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）根据cosA=

1

2

算出角A=

π

3

，利用正弦定理算出sinB=

bsinA

a

=

1

2

，结合b＜a得B＜A，所以B=

π

6

；
（II）由（I）算出△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，从而得出c=

a2+b2

=4，利用三角恒等变换公式化简得到f（x）=sin(2x+

π

6

)+1．再根据正弦函数单调区间的公式加以计算，可得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（I）∵cosA=

1

2

，A∈（0，π），∴A=

π

3

．
∵a=2

3

，b=2，
∴根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinB=

bsinA

a

=

2×sin π 3

2 3

=

1

2

．
又∵b＜a，可得B＜A，∴B=

π

6

；
（II）∵A=

π

3

，B=

π

6

，∴C=π-（A+B）=

π

2

，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
由此可得c=

a2+b2

=4，
∴f（x）=cos2x+

c

2

sin²（x+B）=cos2x+2sin2(x+

π

6

)=cos2x+1-cos(2x+

π

3

)
=cos2x+1-cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=sin(2x+

π

6

)+1．
令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

6

＜

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

π

3

+kπ＜x＜

π

6

+kπ（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为(-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ)(k∈Z)．

点评：本题以解三角形为载体，求三角函数的单调递增区间．着重考查了正弦定理、勾股定理、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．