Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

a_n+2S_n•S_n﹣1=0（n≥2），a₁=．

（1）求证：{}是等差数列；

（2）求a_n表达式；

（3）若b_n=2（1﹣n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

考点：

数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）根据题中已知条件化简可得出S_n与S_n﹣1的关系，再求出S1 的值即可证明{}是等差数列；

（2）根据（1）中求得的S_n与S_n﹣1的关系先求出数列{}的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时a_n的表达式；

（3）根据（2）中求得的a_n的表达式即可求出bn的表达式，然后将bn的表达式代入b₂²+b₃²+…+b_n²中，利用缩放法即可证明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

解答：

解（1）∵﹣a_n=2S_nS_n﹣1，

∴﹣S_n+S_n﹣1=2S_nS_n﹣1（n≥2）

S_n≠0，∴﹣=2，又==2，

∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）=2+（n﹣1）2=2n，

∴S_n=

当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=﹣

n=1时，a₁=S₁=，

∴a_n=；（3）由（2）知b_n=2（1﹣n）a_n=

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=++…+＜++…+

=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．

点评：

本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列的基本性质，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．