Question

设x、y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．

Answer 1

答案：
解析：

证明：充分性：若xy＝0，那么，①x＝0，y≠0；②x≠0，y＝0；③x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|． 　　如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)＝－x＋(－y)＝|x|＋|y|． 　　总之，当xy≥0时，有|x＋y|＝|x|＋|y|． 　　必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|及x、y∈R，得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，所以|xy|＝xy．所以xy≥0． 　　解析：要证充要条件，需要证明充分性，也要证明必要性．对x、y的取值进行讨论，再综合总结．

提示：

充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题．