Question

3．已知集合A=$\left\{{x∈{R}|y=lg（-{x^2}-x+2）}\right\}，B=\left\{{y∈{R}|y=2x+\frac{3}{x}-4，1＜x＜3}\right\}$，C={x∈R|x²+bx+c≥0}．
（1）求A∪B；
（2）若（A∪B）∩C为空集，（A∪B）∪C=R，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的并集即可；
（2）由题意得到x²+bx+c=0必有两个不等实根，记为x₁，x₂（x₁＜x₂），表示出C，根据题意确定出x₁，x₂的值，即可求出b与c的值．

解答 解：（1）∵A=（-2，1），B=[2$\sqrt{6}$-4，3），
∵2$\sqrt{6}$-1＜1，
∴A∪B=（-2，3）；
（2）由题意知，方程x²+bx+c=0必有两个不等实根，记为x₁，x₂（x₁＜x₂），C=（-∞，x₁]∪[x₂，+∞），
由（A∪B）∩C为空集，得到x₁≤-2，x₂≥3，
由（A∪B）∪C=R，得到x₁≥-2，x₂≤3，
∴x₁=-2，x₂=3，
解得：b=-1，c=-6．

点评 此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．