Question

3．如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：AE⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．
（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．

解答 解：（1）取BC中点F，连结AF，
因为AB=AC，所以，AF⊥BC，
又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，
所以，AF⊥平面DBC，
因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，
而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；
（2）连结DF，
∵DB=DC，F为BC中点，
∴DF⊥BC，
∵平面ABC⊥平面DBC，DF?平面DBC，
可证DF⊥平面ABC，
∵AE∥DF，
∴AE⊥平面ABC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．