Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（x+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）计算f′(x)=2ax+

2

x+1

因为f（x）在x=1处有极值所以f′（1）=2a+1=0可解a=-

1

2

（2）解法一由f（x）在[2，3]上是增函数得f′(x)=2ax+

2

x+1

＞0在[2，3]上恒成立，利用分离参数，设y=-(x+

1

2

)2+

1

4

x∈[2，3]求函数的最大值即可．
解法二依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，2ax+

2

x+1

＞0即

ax2+ax+1

x+1

＞0恒成立即ax²+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立转化为二次函数的问题．

解答：解：（1）由已知得f（x）的定义域为（-1，+∞）
又f^(x)=2ax+

2

x+1

∴由题意得f′（1）=2a+1=0
∴a=-

1

2

（2）解法一：依题意得f′（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴2ax+

2

x+1

＞0
∴2ax＞-

2

1+x

，a＞

1

-x2-x

=

1

-(x+ 1 2 )2+ 1 4

∵x∈[2，3]，∴-(x+

1

2

)2+

1

4

的最小值为-(3+

1

2

)2+

1

4

=-12
∴

1

-(x+ 1 2 )2+ 1 4

的最大值为-

1

12

又因a=-

1

12

时符合题意∴a≥-

1

12

为所求
解法二：依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴2ax+

2

x+1

＞0即

ax2+ax+1

x+1

＞0
∵1+x＞0，
∴ax²+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立
令g（x）=ax²+ax+1
（1）当a=0时，1＞0恒成立
（2）当a＜0时，抛物线g（x）开口向下，可得g（x）_min=g（3）＞0
即9a+3a+1≥0，∴0＞a＞-

1

12

（
（3）当a＞0时，抛物线g（x）开口向上，可得g（x）_min=g（2）＞0
即4a+2a+1＞0，
∴a＞-

1

6

，即a＞0
又因a=-

1

12

时符合题意
综上可得a≥-

1

12

为所求

点评：了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）．会用导数判断函数单调性、求单调区间与极值．．