Question

已知≤x≤,则

(1)1-x的取值范围是［,］;

(2)x(1-x)的取值范围是［,］.

以上命题是否正确,若错误予以纠正;若正确,请予证明.

Answer 1

剖析:(1)已知x的取值范围可求得-x的取值范围进而可求出1-x的取值范围.

    (2)由x以及1-x的取值范围求x(1-x)的取值范围时,利用不等式的叠乘性要注意等号成立的条件.

解:(1)该命题正确.

    ∵≤x≤,∴-≤-x≤-.

    ∴≤1-x≤,

    即1-x的取值范围是［,］.

    (2)该命题不对.

    ∵≤x≤,≤1-x≤,

    ∴＜x(1-x)＜(等号成立的条件不一致)

    正确解法应为x(1-x)=-x²+x=-(x-)²+在［,上单调递增,在［,］上单调递减.

    故x(1-x)的取值范围是［,］.

讲评:不等式的性质中,同向不等式可以作加法运算,同向不等式两边为正时,可以作乘法运算.但如果涉及到等号,能否取到最值,则要同时满足各个取等条件,这一点常易疏漏.