Question

已知函数f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（2）记函数g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，知a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，构造函数h(x)=

2

x

-2x，x∈[1，+∞)，利用导数性质，能求出实数a的取值范围．
（2）由g（x）=2x³+ax-2，x＞0，知g′（x）=6x²+a，由a≥0时，g′（x）≥0恒成立知a＜0，由此能求出函数f（x）的解析式．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，
∴a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立…（2分）
令h(x)=

2

x

-2x，x∈[1，+∞)
∵h′(x)=-

2

x2

-2＜0恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）单调递减…（4分）
h（x）_max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故实数a的取值范围为[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x³+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x²+a…（9分）
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，无最小值，不合题意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，则x=

-a 6

（舍负）
∵0＜x＜

-a 6

时，g′（x）＜0；x＞

-a 6

时，g′（x）＞0，
∴g（x）在 (0，

-a 6

)上单调递减，在(

-a 6 ，

+∞)上单调递增，
则x=

-a 6

是函数的极小值点．g(x)min=g(x)极小=g(

-a 6

)=-6．…（13分）
解得a=-6，
故f(x)=2x+

2

x

-6lnx．…（14分）

点评：本题考查函数是增函数时实数的取值范围的求法，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．