Question

如图,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,求:

(1)BC₁与平面ABCD所成的角;

(2)BD₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值;

(3)BC₁与平面BDD₁B₁所成的角.

Answer 1

解析:(1)在正方体中,由于CC₁⊥平面ABCD,

∴BC为斜线BC₁在平面ABCD内的射影.

∴∠C₁BC为直线BC₁与平面ABCD所成的角.

在Rt△BCC₁中,tan∠C₁BC==1,∴∠C₁BC=45°.

∴直线BC₁与平面ABCD所成的角为45°.

(2)∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁,BD₁∩平面A₁B₁C₁D₁=D₁,

∴BD₁在平面A₁B₁C₁D₁内的射影为B₁D₁.

∴∠BD₁B₁为斜线BD₁与平面A₁B₁C₁D₁所成的角.

在Rt△BB₁D₁中,tan∠BD₁B₁==,

∴∠BD₁B₁=arctan.

∴直线BD₁与平面A₁B₁C₁D₁所成的角为arctan.

(3)连结A₁C₁与B₁D₁交于点O₁,

∴B₁D₁⊥A₁C₁,即C₁O₁⊥B₁D₁.

又∵B₁B⊥平面A₁B₁C₁D₁,C₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

∴C₁O₁⊥BB₁.而BB₁∩B₁D₁=B₁,∴C₁O⊥平面BDD₁B₁.

连结BO₁,则BO₁为BC₁在平面BDD₁B₁内的射影,

∴∠C₁BO₁为直线BC₁与平面B₁D₁DB所成的角.

在Rt△C₁BO₁中,sin∠C₁BO₁==,

∴∠C₁BO₁=30°.

∴直线BC₁与平面BDD₁B₁所成的角为30°.