Question

设A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且||=，动点P满足.记动点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数λ的取值范围.

Answer 1

解：（1）设P（x，y），因为A、B分别为直线y=x和y=-x上的点，

故可设A(x₁,x₁)，B(x₂,-x₂).

∵，

∴.∴

又||=,

∴(x₁-x₂)²+(x₁+x₂)²=20.

∴y²+x²=20,即曲线C的方程为=1.

（2）设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）=λ(s，t-16).

故x=λs,y=16+λ(t-16).

∵M、N在曲线C上，

∴消去s得=1.

由题意知λ≠0，且λ≠1，解得t=.

又|t|≤4,∴||≤4.

解得≤λ≤(λ≠1).

故实数λ的取值范围是≤λ≤(λ≠1).