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    若C32+C42+C52+…+Cn2=363，则自然数n=
    13
    13
    ．
    分析：根据题意，现将原等式变形为C33+C32+C42+C52+…+Cn2=364，再利用组合数的性质Cnm+Cnm-1=Cn+1m，可得C22+C32+C42+C52+…+Cn2=Cn+13，则原等式可化为Cn+13=364，解可得答案．
    解答：解：C32+C42+C52+…+Cn2=363，
    则1+C32+C42+C52+…+Cn2=364，即C33+C32+C42+C52+…+Cn2=364，
    又由Cnm+Cnm-1=Cn+1m，则C22+C32+C42+C52+…+Cn2=C43+C42+C52+…+Cn2=C53+C52+C62+…+Cn2=Cn+13，
    原式可变形为Cn+13=364，
    化简可得
    (n+1)n(n-1)
    3×2×1
    =364，
    又由n是正整数，解可得n=13，
    故答案为13．
    点评：本题考查组合数的性质，解题的关键在于利用Cnm+Cnm-1=Cn+1m，将原式变形，需注意Cn+13=364的解法．
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    （Ⅰ）求证：
    C
    m
    n
    =
    n
    m
    C
    m-1
    n-1
    ；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
    (1+x)[1-(1+x)n]
    1-(1+x)
    =
    (1+x)n+1-(1+x)
    x
    ；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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