Question

如图所示，点P为斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N．

(1)求证：CC₁⊥MN；

(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵CC1∥BB1，∴CC1⊥PM，CC1⊥PN． 　　∴CC1⊥平面PMN．∴CC1⊥MN． 　　(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有 　　，其中α为侧面AA1B1B与侧面CC1B1B成的二面角． 　　在△PMN中，MN2＝PM2＋PN2－2PM·PNcosα， 　　两边同乘以侧棱长BB12即可得到结论． 　　思路分析：本题通过类比将平面内余弦定理扩展到空间．