Question

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s,相关各点均在同一平面上).

Answer 1

解:以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.

    设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).

    设P(x,y)为巨响产生点,由A、C同时听到巨响声,得PA=PC,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x.

    因B点比A点晚4 s听到爆炸声,故PB-PA=340×4=1 360.

    由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线=1上,依题意得a=680,c=1 020,b²=c²-a²=1 020²-680²=5×340²,所以双曲线的方程为=1.

将y=-x代入上式,得x=±680,因为PB＞PA,x=-680,y=680,

即点P(-680,680),故PO=680.

所以巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680处.