Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．

(Ⅰ)证明：PB∥平面EAC；

(Ⅱ)求证：AE⊥平面PCD；

(Ⅲ)若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值；

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)连结交于，连结，则，且， 　　又平面，平面，∴PB∥平面EAC．　　　　4分; 　　(Ⅱ) 　　正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，， 　　又，所以，AE⊥平面PCD．　　8分; 　　(Ⅲ)在PC上取点M使得． 　　由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以 　　所以，在等腰直角三角形DPC中，， 　　连接，因为AE⊥平面PCD，所以，． 　　所以，为二面角A－PC－D的平面角． 　　在中，． 　　即二面角A－PC－D的正切值为　　　　　　　　14分 　　证法二： 　　(Ⅰ)设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，，． 　　以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，，则，，，，，．∴， 　　，∴，又平面， 　　平面，∴PB∥平面EAC．　　　　　　　　　　　　　　4分; 　　(Ⅱ)，，， 　　， 　　所以，． 　　又，，所以，AE⊥平面PCD．　　　8分; 　　(Ⅲ)当时，由(2)可知：是平面PDC的法向量； 　　设平面PAC的法向量为，则，，即 　　，取，可得：．所以，． 　　向量与所成角的余弦值为：． 　　所以，tanq ＝． 　　又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角．其正切值等于．　　　　　14分