Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足=(1,0)，=(-1,t)，=，⊥，∥.

(1)当t变化时，求点P的轨迹C的方程；

(2)若过点F的直线交曲线C于A、B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列.

Answer 1

(1)解：设点P的坐标为(x,y),

由=，得点M是线段FT的中点,则M(0,), =(-x,-y).    

又=-=(-2,t), =(-1-x,t-y),                             

由⊥，得2x+t(-y)=0.                               ① 

由∥，得(-1-x)×0+(t-y)×1=0,∴t=y.            ② 

由①②消去t,得y²=4x即为所求点P的轨迹C的方程.

(2)证明：设直线TA、TF、TB的斜率依次为k₁,k,k₂,并记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则k=-.

                                                                    

设直线AB的方程为x=my+1,

由得y²-4my-4=0.                                          

∴                                                  

∴y₁²+y₂²=(y₁+y₂)²-2y₁y₂=16m²+8.                                       

∴k₁+k₂=+                                              

==

=-t=2k.

∴k₁,k,k₂成等差数列.