Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n+1+1=3（S_n+1）
∵S₁+1=2+1=3
∴{S_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{S_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．
∴S_n+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
S_n-1=3^n-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=．
（Ⅲ）证明：∵S_n=3ⁿ-1，，
∴b_n===
=，
设，
b₁+b₂+…+b_n＜c₁+c₂+c₃+…+c_n
=
＜（1+++…+）
=
=＜1．
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．
分析：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，知S_n+1+1=3（S_n+1），由此能够证明{S_n+1}是等比数列．
（Ⅱ）由S_n=3ⁿ-1，得到S_n-1=3^n-1-1，由此能求出a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=．
（Ⅲ）b_n==，由此入手，能够证明b₁+b₂+…+b_n＜1．
点评：本题考查数列与不等式的综合，综合题强，难度大，计算繁琐，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意放缩法的合理运用．