Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AB=1BC=2，PD=

3

，G、F分别为
AP、CD的中点．
（1）求证：AD⊥PC
（2）FG∥平面BCP
（3）线段AD上是否存在一点R，使得平面BFR⊥平面PCB，若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证AD⊥PC，可证AD垂直于PC所在的平面PCD，由已知条件底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD即能证明AD垂直于平面PCD；
（2）利用三角形中位线知识证明GH∥FC，GH=FC．从而说明四边形GFCH是平行四边形，再由线面平行的判定定理得到要证的结论；
（3）以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，假设线段AD上存在一点R，使得平面BFR⊥平面PCB，由两平面的法向量垂直可求解R的位置．

解答：（1）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD
∵PD⊥底面ABCD，AD?哦ing面ABCD，
∴AD⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AD⊥平面PDC．
∵PC?平面ABCD，∴AD⊥PC；
（2）证明：取BP中点H，连接GH，CH．
∵G，F分别为AP，DC的中点，
∴GH∥AB，GH=

1

2

AB，FC∥AB，FC=

1

2

AB．
∴GH∥FC，GH=FC．
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴FG∥CH，CH?平面BCP，FG?平面BCP
∴FG∥平面BCP；
（3）∵PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
假设在线段AD上存在一点R，使得平面BPR⊥平面PCB，
设R（m，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），P（0，0，

3

），
则

CB

=(2，0，0)，

PB

=(2，1，-

3

)，

RB

=(2-m，1，0)，

RP

=(-m，0，

3

)．
设平面BCP的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)
由

n1 • CB =0 n1 • PB =0

，得

2x1=0 2x1+y1- 3 z1=0

，
令yy1=

3

，得x₁=0，z₁=1，所以

n1

=(0，

3

，1)．
设平面BPR的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)
由

n2 • RB =0 n2 • RP =0

，得

(2-m)x2+y2=0 -mx2+ 3 z2=0

，令x₂=1，得y2=m-2，z2=

m

3

所以

n2

=(1，m-2，

m

3

)．
∵

n1

•

n2

=0，∴

3

(m-2)+

m

3

=0，解得m=

3

2

．
∴线段AD上存在点R，且当AR=

1

2

时，使得平面BPR⊥平面PCB．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了利用平面法向量求解两个平面的垂直问题，解答的关键是平面法向量的求法，是中档题．