Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）连接AC交BD于O，连接PO．菱形ABCD中，证出AC⊥BD且O是BD的中点，从而得到PO是等腰△PBD中，PO是底边BD的中线，可得PO⊥BD，结合PO、AC是平面PAC内的相交直线，证出BD⊥平面PAC，从而得到PC⊥BD；
（II）根据ABCD是边长为2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面积为，△PAO中证出AO²+PO²=6=PA²可得PO⊥AC，结合PO⊥BD证出PO⊥平面ABCD，所以PO=是三棱锥P-ABC的高，从而三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC=1，再由E为PA中点算出三棱锥E-ABC的体积V_E-ABC=，进而可得三棱锥P-BCE的体积等于V_P-ABC-V_E-ABC=，得到本题答案．
解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点
∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD
∵PO、AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=
∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=
因此，△PAO中AO²+PO²=6=PA²
∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC=×S_△ABC×PO==1
∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=
由此可得三棱锥E-ABC的体积V_E-ABC=×S_△ABC×d=×=
因此，三棱锥P-BCE的体积V_P-EBC=V_P-ABC-V_E-ABC=．
点评：本题给出底面为菱形的四棱锥，求证线线垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、菱形的性质及面积计算和锥体体积公式等知识，属于中档题．