Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（1）求角A；
（2）已知a=2

3

，bc=10，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）根据同角三角函数的关系与两角和的正弦公式，化简题中的等式得

sin(A+B)

cosAsinB

=

2c

b

，再利用正弦定理与三角函数的诱导公式推出

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，从而得出cosA=

1

2

，可得角A的大小；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入题中的数据化简得b²+c²=22，从而算出（b+c）²=42，即可得到b+c的值．

解答：解：（1）∵1+

tanA

tanB

=

2c

b

，tanA=

sinA

cosA

，tanB=

sinB

cosB

，
∴1+

sinAcosB

cosAsinB

=

2c

b

，可得

cosAsinB+sinAcosB

cosAsinB

=

2c

b

，即

sin(A+B)

cosAsinB

=

2c

b

，
∵△ABC中，sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，

2c

b

=

2sinC

sinB

∴

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，结合sinC＞0，化简得cosA=

1

2

．
结合A是三角形的内角，可得A=

π

3

；
（2）根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
∵A=

π

3

，a=2

3

，bc=10，
∴12=b²+c²-2×10×cos

π

3

，化简得b²+c²=22，
由此可得（b+c）²=b²+c²+2bc=22+20=42．
∴b+c=

42

（舍负）．

点评：本题在△ABC中给出边角关系式，求角A的大小并依此利用余弦定理求b+c的值．着重考查了正余弦定理、同角三角函数的基本关系与诱导公式、两角和的正弦公式等知识，属于中档题．