Question

已知数列{a_n},a₁=,且a_n+1=(1+)a_n+(n≥2,n∈N^*),b_n=(n∈N^*).

(1)当n≥2时,求证:a_n≥2;

(2)求证:当x＞0时,ln(1+x)＜x,且b_n＜e;

(3)在(2)的条件下,求证:a_n≤e³.

Answer 1

证明:(1)用数学归纳法证明:

①当n=2时,有a₂=(1+)a₁+1=2,a_n≥2成立.

②假设n=k时,有a_k≥2,则当n=k+1时,有a_k+1=(1+)a_k+,

由a_k≥2,得a_k+1=(1+)a_k+≥2++＞2,所以a_k+1≥2.

由①②可知:当n≥2时,有a_n≥2成立.

(2)要证明b_n＜e成立,只需证＜e,

即ln(1+n)＜n,

当x＞0时,考察函数f(x)=ln(x+1)-x,有f′(x)=,易知f′(x)＜0,

∴f(x)=ln(x+1)-x在(0,+∞)上是单调递减函数.

∴f(x)＜f(0)=0.

则有ln(x+1)-x＜0,∴ln(x+1)＜x成立,此时有ln(n+1)＜n,则有＜e得证,∴b_n＜e.

(3)∵a_n≥2,∴1≤.∴a_n+1=(1+)a_n+≤(1+)a_n+·=(1++)a_n.

∴a_n+1≤(1++)a_n.

∴lna_n+1≤ln(1++)+lna_n.

则有lna_n+1-lna_n≤ln(1++).

由(2)知,当x＞0时,有ln(x+1)＜x成立,则有ln(1++)≤+,

lna_n+1-lna_n≤+,

∴有lna₂-lna₁≤+,lna₃-lna₂≤+,

……

lna_n-lna_n-1≤+.

各式相加得

lna_n-lna₁≤(++…+)+［1++++…+］.

∵++…+=1-,   

且1+++…+＜1+(1)+()+…+()=2,

∴lna_n-lna₁≤3＜3,

即有lna_n≤lna₁+3=ln+3=lne³.

∴a_n≤e³.