Question

已知函数f（x）=x²-2tx+1，g（x）=blnx，其中b，t为实数
（1）若f（x）在区间[3，4]为单调函数，求实数t的取值范围；
（2）当t=1时，讨论函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域内的单调性．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-2tx+1的图象是以直线x=t为对称轴且开口向上的抛物线，
所以当t≤3时，函数在[3，4]单调递增，…（4分）
当t≥4时函数在[3，4]单调递减，…（6分）
所以若f（x）在区间[3，4]为单调函数，则实数t的取值范围t≤3或t≥4…（7分）
（2）当t=1时，
h（x）=f（x）+g（x）=x²-2x+1+blnx的定义域为（0，+∞）…（8分）
h′（x）=2x-2+=，…（9分）
令g（x）=2x²-2x+b，x∈（0，+∞），
所以g（x）在（0，+∞）的符号与h′（x）在（0，+∞）的正负情况一致
①当△=4-8b≤0时，即b≥时，则g（x）=2x²-2x+b≥0在（0，+∞）恒成立，所以h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以函数h（x）在（0，+∞）上为单调递增函数…（10分）
②当△=4-8b＞0时，即b＜时，令方程g（x）=2x²-2x+b=0的两根为x₁，x₂，且x₁=，x₂=…（11分）
（i）当x₁=＞0，即0＜b＜时，
不等式g（x）=2x²-2x+b＞0解集为（0，）∪（，+∞），
g（x）=2x²-2x+b＜0解集为（，），
所以h（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）；单调减区间为（，），…（12分）
（ii） 当x₁=≤0，即b≤0时，
不等式g（x）=2x²-2x+b＞0解集为（，+∞），
g（x）=2x²-2x+b＜0解集为（0，），
所以h（x）的单调增区间为（，+∞）；单调减区间为（0，），…（13分）
综上所述：当b≥时，函数h（x）在（0，+∞）上为单调递增函数
当0＜b＜时，h（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）；
单调减区间为（，）
当b≤0时，h（x）的单调增区间为（，+∞）；
单调减区间为（0，）…（14分）
分析：（1）根据函数f（x）的解析式，可以分析出函数图象的形状，由f（x）在区间[3，4]为单调函数，可得区间[3，4]完全在对称轴一侧，分类讨论后，可得实数t的取值范围；
（2）当t=1时，求出函数h（x）的解析式，求出其导函数，分类讨论b在不同取值时，导函数的符号，进而可分析出函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域内的单调性．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，由于（2）中分类讨论比较复杂，故难度中档．